En matemáticas, las conjeturas de Weil fueron algunas propuestas muy influyentes realizadas por André Weil, que condujo a un exitoso programa de varias décadas para probarlas, en el que muchos investigadores líderes desarrollaron el marco de la geometría algebraica moderna y la teoría de números.

Las conjeturas se refieren a las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales) derivadas de contar el número de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos. Una variedad sobre un campo finito con elementos tiene un número finito de puntos racionales (con coordenadas en el campo original), así como puntos con coordenadas en cualquier extensión finita del campo original. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números de puntos sobre el campo de extensión con elementos.

Weil conjeturó que tales funciones zeta para variedades suaves deberían ser funciones racionales, deberían satisfacer una forma de ecuación funcional y deberían tener sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes fueron modeladas de manera bastante consciente en la función zeta de Riemann, un tipo de función generadora de enteros primos, que obedece a una ecuación funcional y (conjeturalmente) tiene sus ceros restringidos por la hipótesis de Riemann. La racionalidad fue probada por Bernard Dwork, la ecuación funcional por Alexander Grothendieck, y el análogo de la hipótesis de Riemann por Pierre Deligne .

Antecedentes e historia El primer antecedente de las conjeturas de Weil es obra de Carl Friedrich Gauss y aparece en la sección VII de sus Disquisitiones Arithmeticae , relacionado con las raíces de la unidad y los períodos gaussianos. En el artículo 358, pasa de los períodos que construyen torres de extensiones cuadráticas, para la construcción de polígonos regulares; y supone que es un número primo tal que es divisible por 3. Entonces existe un campo cúbico cíclico dentro del campo ciclotómico de las raíces de la unidad, y una base integral normales de periodos para los números enteros de este campo (una instancia del teorema de Hilbert-Speiser). Gauss construyó los períodos de orden 3, correspondientes al grupo cíclico de los residuos de módulo distintos de cero bajo la multiplicación y su subgrupo único de índice tres. Gauss deja , y sean sus clases laterales. Tomando los períodos (sumas de raíces de la unidad) correspondientes a estas clases laterales aplicadas a , observó que estos períodos tienen una tabla de multiplicación que es accesible para el cálculo. Los productos son combinaciones lineales de los períodos, y determinó sus coeficientes. Estableció, por ejemplo, igual al número de elementos de que están en y que, después de aumentar en uno, también están en . Probó que este número y los relacionados son los coeficientes de los productos de los períodos. Para ver la relación de estos conjuntos con las conjeturas de Weil, obsérvese que si y están ambos en , entonces existen e en de modo que e ; en consecuencia, . Por lo tanto es el número de soluciones para en el campo finito . Los otros coeficientes tienen interpretaciones similares. La determinación de Gauss de los coeficientes de los productos de los períodos, por lo tanto, cuenta el número de puntos en estas curvas elípticas, y como subproducto demuestra el análogo de la hipótesis de Riemann.

Emil Artin estudió las conjeturas de Weil en el caso especial de las curvas algebraicas. Por su parte, Weil probó el caso de las curvas sobre campos finitos, terminando el proyecto iniciado por el teorema de Hasse sobre curvas elípticas sobre campos finitos. Su interés era bastante obvio desde dentro de la teoría de números: implicaban límites superiores para sumas exponenciales, una preocupación básica en la teoría analítica de números .

Lo que fue realmente llamativo, desde el punto de vista de otras áreas matemáticas, es la conexión propuesta con la topología algebraica. Dado que los campos finitos son de naturaleza discreta, y la topología solo habla de lo continuo, la formulación detallada de Weil (basada en la elaboración de algunos ejemplos) fue sorprendente y novedosa. Sugirió que la geometría sobre campos finitos debería encajar en patrones bien conocidos relacionados con los números de Betti, o con el teorema de punto fijo de Lefschetz entre otros.

La analogía con la topología sugirió que se estableciera una nueva teoría homológica aplicable dentro de la geometría algebraica. Esto llevó dos décadas (era un objetivo central del trabajo y la escuela de Alexander Grothendieck) a partir de las sugerencias iniciales de Serre. La parte racional de las conjeturas fue probada primero por Bernard Dwork , utilizando métodos -ádicos. y sus colaboradores establecieron la conjetura racional, la ecuación funcional y el enlace a los números de Betti utilizando las propiedades de cohomología étale, una nueva teoría de la cohomología desarrollada por Grothendieck y Artin para atacar las conjeturas de Weil, como se describe en . De las cuatro conjeturas, la del análogo de la hipótesis de Riemann fue la más difícil de probar. Motivado por la prueba de de un análogo de las conjeturas de Weil para variedades de Kähler, Grothendieck imaginó una prueba basada en sus conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos . Sin embargo, las conjeturas estándar de Grothendieck permanecen abiertas (excepto el teorema de Lefschetz fuerte, que Deligne probó al extender su trabajo sobre las conjeturas de Weil), y Deligne probó el análogo de la hipótesis de Riemann, utilizando la teoría de la cohomología étale pero evitando el uso de conjeturas estándar mediante un argumento ingenioso. encontró y probó una generalización de las conjeturas de Weil, delimitando los pesos del empuje de un haz.

Declaración de las conjeturas de Weil Supóngase que es una variedad algebraica proyectiva dimensional no singular sobre el campo con elementos. La función zeta de es por definición

donde es el número de puntos de definidos sobre la extensión de grado de .

Las conjeturas de Weil indican:

(Racionalidad) es una función racional de . Más precisamente, se puede escribir como un producto alternativo finito donde cada es un polinomio integral. Además, , , y para , factores sobre como para algunos números . (Ecuación funcional y dualidad de Poincaré) La función zeta satisface o equivalente donde es la característica de Euler de . En particular, para cada , los números , ,... son iguales a los números , ,... en algún orden. (Hipótesis de Riemann) para todos y todos . Esto implica que todos los ceros de encuentran en la "línea crítica" de los números complejos con la parte real . (Números de Betti) Si es una (buena) "reducción de módulo " de una variedad proyectiva no singular definida sobre un campo numérico incrustado en el campo de números complejos, entonces el grado de es el -ésimo número de Betti del espacio de los puntos complejos de .

Ejemplos

La recta proyectiva El ejemplo más simple (que no sea un punto) es tomar como la recta proyectiva. El número de puntos de sobre un campo con elementos es solo (donde el " " proviene del "punto en el infinito"). La función zeta es

.

Es fácil verificar todas las partes de las conjeturas de Weil directamente. Por ejemplo, la variedad compleja correspondiente es la esfera de Riemann y sus números iniciales de Betti son 1, 0, 1.

Espacio proyectivo No es mucho más difícil comprobarlo con el espacio proyectivo dimensional. El número de puntos de sobre un campo con elementos es solo . La función zeta es

.

Nuevamente es fácil verificar todas las partes de las conjeturas de Weil directamente (el espacio proyectivo complejo da los números Betti relevantes, que casi determinan la respuesta).

El número de puntos en la línea proyectiva y el espacio proyectivo son muy fáciles de calcular porque pueden escribirse como uniones disjuntas de un número finito de copias de espacios afines. También es fácil probar las conjeturas de Weil para otros espacios, como los Grassmannianos y las variedades de bandera, que tienen la misma propiedad de "teselado".

Curvas elípticas Son los primeros casos no triviales de las conjeturas de Weil (demostrados por Hasse). Si es una curva elíptica sobre un campo finito con elementos, entonces el número de puntos de definidos sobre el campo con elementos es , donde y son conjugados complejos con valor absoluto . La función zeta es

.

Cohomología de Weil Weil sugirió que las conjeturas se derivarían de la existencia de una "teoría de la cohomología de Weil" adecuada para variedades sobre campos finitos, similar a la cohomología habitual con coeficientes racionales para variedades complejas. Su idea era que si es el automorfismo de Frobenius sobre el campo finito, entonces el número de puntos de la variedad sobre el campo de orden es el número de puntos fijos de (que actúa sobre todos los puntos de la variedad definidos sobre el cierre algebraico). En la topología algebraica, el número de puntos fijos de un automorfismo puede calcularse utilizando el teorema del punto fijo de Lefschetz, dado como una suma alterna de trazas en los grupos de cohomología. Entonces, si hubiera grupos de cohomología similares para variedades sobre campos finitos, la función zeta podría expresarse en términos de ellos.

El primer problema con esta proposición es que el campo de coeficientes para una teoría de la cohomología de Weil no puede ser el de los números racionales. Para ver esto, considérese el caso de una curva elíptica supersingular sobre un campo finito de característica . Su anillo de endomorfismo es un orden en un álgebra de cuaterniones sobre los números racionales, y debe actuar sobre el primer grupo de cohomología, que debe ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo del coeficiente por analogía con el caso de una curva elíptica compleja. Sin embargo, un álgebra de cuaterniones sobre los racionales no puede actuar en un espacio vectorial bidimensional sobre los racionales. El mismo argumento elimina la posibilidad de que el campo de coeficientes sean los números reales o los números -ádicos, porque el álgebra de cuaterniones sigue siendo un álgebra de división sobre estos campos. Sin embargo, no elimina la posibilidad de que el campo del coeficiente sea el campo de los números -ádicos para algunos primos , porque sobre estos campos la división del álgebra se divide y se convierte en un álgebra matricial, que puede actuar en un espacio vectorial bidimensional. Grothendieck y Michael Artin lograron construir teorías de cohomología adecuadas sobre el campo de los números -ádicos para cada primo , llamadas cohomologías -ádicas.

Pruebas de Grothendieck de tres de las cuatro conjeturas A finales de 1964, Grothendieck junto con Artin y Jean-Louis Verdier (y el trabajo anterior de 1960 de Dwork) demostraron las conjeturas de Weil, aparte de la tercera conjetura más difícil anterior (la conjetura de la "hipótesis de Riemann") (Grothendieck 1965). Los teoremas generales sobre la cohomología étale le permitieron a Grothendieck probar un análogo de la fórmula del punto fijo de Lefschetz para la teoría de la cohomología l-ádica, y al aplicarla al automorfismo de Frobenius F pudo probar la fórmula conjeturada para la función zeta:

donde cada polinomio Pi es el determinante de I - TF en el grupo de cohomología I-ádico Hi.

La racionalidad de la función zeta se sigue de inmediato. La ecuación funcional para la función zeta se deriva de la dualidad de Poincaré para la cohomología l-ádica, y la relación con los números de Betti complejos de una elevación se deriva de un teorema de comparación entre la cohomología l-ádica y la cohomología ordinaria para variedades complejas.

De manera más general, Grothendieck demostró una fórmula similar para la función zeta (o "función L generalizada") de un haz F0:

como producto sobre grupos de cohomología:

El caso especial del haz constante proporciona la función zeta habitual.