Son polinomios en función de una variable que, cuando la variable coincide con el número de sumandos, calculan la suma de potencias con bases en progresión aritmética y exponente igual al número anterior a su grado. El problema es por tanto encontrar polinomios tales que:
con variable y parámetros del plinomio ; y enteros no negativos, primer término de una progresión aritmética y diferencia de la misma progresión, siendo y cualquier número real o complejo
son los polinomios identificados por la fórmula de Faulhaber presentada póstumamente por Jacob Bernoulli en 1713;
son los polinomios diferenciándose de los anteriores sólo en el signo de un monomio de grado pEsto depende del hecho de que, que, por , transforma en .;
son los polinomios por sumas de potencias de números impares sucesivos.
Método con matrices Para cualquier entero positivo, el caso general se resuelve mediante la siguiente fórmula: donde
con y </B> donde (fila), (columna) y (orden de la matriz) son enteros. Ejemplo La fórmula en el caso particular se convierte en :
Y en el caso especial , calcula la suma de los primeros números impares consecutivos
Calculando la matriz T(h,d), cuyos elementos siguen el teorema del binomio con los valores asignados, es decir, T(1,2), y hallando la matriz inversa de la matriz triangular inferior A obtenida a partir del triángulo de Pascal privado del último elemento de cada fila (matriz formada a partir del números de Bernoulli, mostrada en rojo), tenemos :
multiplicando las filas por las columnas de las dos matrices se obtiene
y por tanto:
. Por último, si interesan las sumas de los tres primeros sumandos
Método con polinomios de Bernoulli La siguiente fórmula resuelve el problema de forma implícita utilizando polinomios de Bernoulli:
En particular:
Notas
Referencias
Categoría:Diferencia finita Categoría:Polinomios